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In this case `V` consists of\\n\",\n \"third-order, continuous Lagrange finite element functions.\\n\",\n@@ -156,94 +156,94 @@\n \"and then retrieving all facets on the boundary using\\n\",\n \"{py:func}`exterior_facet_indices <dolfinx.mesh.exterior_facet_indices>`.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"6419e685\",\n+ \"id\": \"ac3b68a3\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"tdim = mesh.topology.dim\\n\",\n \"mesh.topology.create_connectivity(tdim - 1, tdim)\\n\",\n \"facets = dolfinx.mesh.exterior_facet_indices(mesh.topology)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"2d1bcdcb\",\n+ \"id\": \"169e25ad\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"We now find the degrees of freedom that are associated with the boundary\\n\",\n \"facets using\\n\",\n \"{py:func}`locate_dofs_topological <dolfinx.fem.locate_dofs_topological>`\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"f1104c55\",\n+ \"id\": \"cc631cc4\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"dofs = fem.locate_dofs_topological(V=V, entity_dim=tdim - 1, entities=facets)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"13f6287c\",\n+ \"id\": \"a346c5b7\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"and use {py:func}`dirichletbc <dolfinx.fem.dirichletbc>` to define the\\n\",\n \"essential boundary condition. On the boundary we prescribe the\\n\",\n \"{py:class}`Function <dolfinx.fem.Function>` `uD`, which we create by\\n\",\n \"interpolating the expression $u_{\\\\rm D}$ in the finite element space\\n\",\n \"$V$.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"54e6054d\",\n+ \"id\": \"e1109723\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"uD = fem.Function(V, dtype=dtype)\\n\",\n \"uD.interpolate(lambda x: 1 + x[0] ** 2 + 2 * x[1] ** 2)\\n\",\n \"bc = fem.dirichletbc(value=uD, dofs=dofs)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"51d9b1d0\",\n+ \"id\": \"61a86255\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"Next, we express the variational problem using UFL.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"a15bf389\",\n+ \"id\": \"f13aeeab\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"x = ufl.SpatialCoordinate(mesh)\\n\",\n \"u = ufl.TrialFunction(V)\\n\",\n \"v = ufl.TestFunction(V)\\n\",\n \"f = fem.Constant(mesh, dtype(-6.0))\\n\",\n \"a = inner(grad(u), grad(v)) * dx\\n\",\n \"L = inner(f, v) * dx\\n\",\n \"L_fem = fem.form(L, dtype=dtype)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"c6052c87\",\n+ \"id\": \"7947e987\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"For the matrix-free solvers we also define a second linear form `M` as\\n\",\n \"the {py:class}`action <ufl.action>` of the bilinear form $a$ on an\\n\",\n \"arbitrary {py:class}`Function <dolfinx.fem.Function>` `ui`. This linear\\n\",\n \"form is defined as\\n\",\n \"\\n\",\n@@ -251,78 +251,78 @@\n \"M(v) = a(u_i, v) \\\\quad \\\\text{for} \\\\; \\\\ u_i \\\\in V.\\n\",\n \"$$\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"1021038a\",\n+ \"id\": \"ba171dd6\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"ui = fem.Function(V, dtype=dtype)\\n\",\n \"M = action(a, ui)\\n\",\n \"M_fem = fem.form(M, dtype=dtype)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"cfd91f54\",\n+ \"id\": \"a529aee0\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"### Matrix-free conjugate gradient solver\\n\",\n \"\\n\",\n \"The right hand side vector $b - A x_{\\\\rm bc}$ is the assembly of the linear\\n\",\n \"form $L$ where the essential Dirichlet boundary conditions are implemented\\n\",\n \"using lifting. Since we want to avoid assembling the matrix `A`, we compute\\n\",\n \"the necessary matrix-vector product using the linear form `M` explicitly.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"e0e9c9bd\",\n+ \"id\": \"2c0c7e96\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"# Apply lifting: b <- b - A * x_bc\\n\",\n \"b = fem.assemble_vector(L_fem)\\n\",\n \"ui.x.array[:] = 0.0\\n\",\n \"bc.set(ui.x.array, alpha=-1.0)\\n\",\n \"fem.assemble_vector(b.array, M_fem)\\n\",\n \"b.scatter_reverse(la.InsertMode.add)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"be956eef\",\n+ \"id\": \"a6c12fd9\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"# Set BC dofs to zero on right hand side\\n\",\n \"bc.set(b.array, alpha=0.0)\\n\",\n \"b.scatter_forward()\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"46718ff6\",\n+ \"id\": \"74cda253\",\n \"metadata\": {\n \"lines_to_next_cell\": 2\n },\n \"source\": [\n \"To implement the matrix-free CG solver using *DOLFINx* vectors, we define the\\n\",\n \"function `action_A` to compute the matrix-vector product $y = A x$.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"fd888ade\",\n+ \"id\": \"810ae9a0\",\n \"metadata\": {\n \"lines_to_next_cell\": 2\n },\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"def action_A(x, y):\\n\",\n \" # Set coefficient vector of the linear form M and ensure it is updated\\n\",\n@@ -337,15 +337,15 @@\n \"\\n\",\n \" # Set BC dofs to zero\\n\",\n \" bc.set(y.array, alpha=0.0)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"e6ca7c90\",\n+ \"id\": \"db89c27b\",\n \"metadata\": {\n \"lines_to_next_cell\": 2\n },\n \"source\": [\n \"### Basic conjugate gradient solver\\n\",\n \"\\n\",\n \"Solves the problem `A x = b`, using the function `action_A` as the operator,\\n\",\n@@ -353,15 +353,15 @@\n \"vector. `comm` is the MPI Communicator, `max_iter` is the maximum number of\\n\",\n \"iterations, `rtol` is the relative tolerance.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"88763b26\",\n+ \"id\": \"c86b2511\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"def cg(comm, action_A, x: la.Vector, b: la.Vector, max_iter: int = 200, rtol: float = 1e-6):\\n\",\n \" rtol2 = rtol**2\\n\",\n \"\\n\",\n \" nr = b.index_map.size_local\\n\",\n@@ -399,61 +399,61 @@\n \" p.array[:] = beta * p.array + r\\n\",\n \"\\n\",\n \" raise RuntimeError(f\\\"Solver exceeded max iterations ({max_iter}).\\\")\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"e6560a17\",\n+ \"id\": \"38ae0083\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"This matrix-free solver is now used to compute the finite element solution.\\n\",\n \"The finite element solution's approximation error as compared with the\\n\",\n \"exact solution is measured in the $L_2$-norm.\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"d20616be\",\n+ \"id\": \"3d150c4d\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"rtol = 1e-6\\n\",\n \"u = fem.Function(V, dtype=dtype)\\n\",\n \"iter_cg1 = cg(mesh.comm, action_A, u.x, b, max_iter=200, rtol=rtol)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"15aff96e\",\n+ \"id\": \"9a8de68b\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"# Set BC values in the solution vector\\n\",\n \"bc.set(u.x.array, alpha=1.0)\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"174bd348\",\n+ \"id\": \"0bc8b352\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"def L2Norm(u):\\n\",\n \" val = fem.assemble_scalar(fem.form(inner(u, u) * dx, dtype=dtype))\\n\",\n \" return np.sqrt(comm.allreduce(val, op=MPI.SUM))\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"87f47f65\",\n+ \"id\": \"3fd43327\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"# Print CG iteration number and error\\n\",\n \"error_L2_cg1 = L2Norm(u - 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In particular, it illustrates how to\\n\",\n \"\\n\",\n \"* Use mixed and non-continuous finite element spaces.\\n\",\n \"* Set essential boundary conditions for subspaces and $H(\\\\mathrm{div})$ spaces.\\n\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"markdown\",\n- \"id\": \"64595bf3\",\n+ \"id\": \"3bf06255\",\n \"metadata\": {},\n \"source\": [\n \"```{admonition} Download sources\\n\",\n \":class: download\\n\",\n \"\\n\",\n \"* {download}`Python script <./demo_mixed-poisson.py>`\\n\",\n \"* {download}`Jupyter notebook <./demo_mixed-poisson.ipynb>`\\n\",\n@@ -99,15 +99,15 @@\n \"\\n\",\n \"## Implementation\"\n ]\n },\n {\n \"cell_type\": \"code\",\n \"execution_count\": null,\n- \"id\": \"e6940923\",\n+ \"id\": \"5580c675\",\n \"metadata\": {},\n \"outputs\": [],\n \"source\": [\n \"\\n\",\n \"try:\\n\",\n \" from petsc4py import PETSc\\n\",\n \"\\n\",\n"}]}]}, {"source1": "./usr/share/doc/dolfinx-doc/python/_images/demo_tnt-elements_degrees_vs_error.png", "source2": 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ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff f1f1f1ff 000000ff f1f1f1ff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff \n ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff f1f1f1ff 000000ff f1f1f1ff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff 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008000ff 008000ff 008000ff 008000ff 008000ff 008000ff 008000ff 008000ff 008000ff cde6cdff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff f1f1f1ff 000000ff f1f1f1ff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff \n+ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff 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