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│ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Matrix-free conjugate gradient solver for the Poisson equation\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "This demo illustrates how to solve the Poisson equation using a\n", │ │ │ │ │ │ "matrix-free conjugate gradient (CG) solver. In particular, it\n", │ │ │ │ │ │ "illustrates how to\n", │ │ │ │ │ │ @@ -68,84 +68,84 @@ │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "The modules that will be used are imported:" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "d50f65bb", │ │ │ │ │ │ + "id": "88842380", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "from mpi4py import MPI" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "45f031af", │ │ │ │ │ │ + "id": "2f04ea1c", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "import numpy as np" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "15d0b2ac", │ │ │ │ │ │ + "id": "b8f8acd4", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "import dolfinx\n", │ │ │ │ │ │ "import ufl\n", │ │ │ │ │ │ "from dolfinx import fem, la\n", │ │ │ │ │ │ "from ufl import action, dx, grad, inner" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "286280f7", │ │ │ │ │ │ + "id": "7d09f412", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "We begin by using {py:func}`create_rectangle\n", │ │ │ │ │ │ "` to create a rectangular\n", │ │ │ │ │ │ "{py:class}`Mesh ` of the domain, and creating a\n", │ │ │ │ │ │ "finite element {py:class}`FunctionSpace `\n", │ │ │ │ │ │ "on the mesh." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "4c364cdd", │ │ │ │ │ │ + "id": "ccc8d294", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "dtype = dolfinx.default_scalar_type\n", │ │ │ │ │ │ "real_type = np.real(dtype(0.0)).dtype\n", │ │ │ │ │ │ "comm = MPI.COMM_WORLD\n", │ │ │ │ │ │ "mesh = dolfinx.mesh.create_rectangle(comm, [[0.0, 0.0], [1.0, 1.0]], [10, 10], dtype=real_type)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "47ce22ac", │ │ │ │ │ │ + "id": "97dd8955", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Create function space\n", │ │ │ │ │ │ "degree = 2\n", │ │ │ │ │ │ "V = fem.functionspace(mesh, (\"Lagrange\", degree))" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "9c8215de", │ │ │ │ │ │ + "id": "4fb3c094", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "The second argument to {py:class}`functionspace\n", │ │ │ │ │ │ "` is a tuple consisting of `(family,\n", │ │ │ │ │ │ "degree)`, where `family` is the finite element family, and `degree`\n", │ │ │ │ │ │ "specifies the polynomial degree. In this case `V` consists of\n", │ │ │ │ │ │ "third-order, continuous Lagrange finite element functions.\n", │ │ │ │ │ │ @@ -156,94 +156,94 @@ │ │ │ │ │ │ "and then retrieving all facets on the boundary using\n", │ │ │ │ │ │ "{py:func}`exterior_facet_indices `." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "037dbf1c", │ │ │ │ │ │ + "id": "89b3b7e9", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "tdim = mesh.topology.dim\n", │ │ │ │ │ │ "mesh.topology.create_connectivity(tdim - 1, tdim)\n", │ │ │ │ │ │ "facets = dolfinx.mesh.exterior_facet_indices(mesh.topology)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "db0bd8c9", │ │ │ │ │ │ + "id": "90dad560", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "We now find the degrees of freedom that are associated with the boundary\n", │ │ │ │ │ │ "facets using\n", │ │ │ │ │ │ "{py:func}`locate_dofs_topological `" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "15f9bedb", │ │ │ │ │ │ + "id": "f152cdca", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "dofs = fem.locate_dofs_topological(V=V, entity_dim=tdim - 1, entities=facets)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "a30ae575", │ │ │ │ │ │ + "id": "7f8aa2c4", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "and use {py:func}`dirichletbc ` to define the\n", │ │ │ │ │ │ "essential boundary condition. On the boundary we prescribe the\n", │ │ │ │ │ │ "{py:class}`Function ` `uD`, which we create by\n", │ │ │ │ │ │ "interpolating the expression $u_{\\rm D}$ in the finite element space\n", │ │ │ │ │ │ "$V$." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "3f1a10a1", │ │ │ │ │ │ + "id": "31689936", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "uD = fem.Function(V, dtype=dtype)\n", │ │ │ │ │ │ "uD.interpolate(lambda x: 1 + x[0] ** 2 + 2 * x[1] ** 2)\n", │ │ │ │ │ │ "bc = fem.dirichletbc(value=uD, dofs=dofs)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "d863cad4", │ │ │ │ │ │ + "id": "175b2a3e", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "Next, we express the variational problem using UFL." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "0bfe7aac", │ │ │ │ │ │ + "id": "c0d1153a", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "x = ufl.SpatialCoordinate(mesh)\n", │ │ │ │ │ │ "u = ufl.TrialFunction(V)\n", │ │ │ │ │ │ "v = ufl.TestFunction(V)\n", │ │ │ │ │ │ "f = fem.Constant(mesh, dtype(-6.0))\n", │ │ │ │ │ │ "a = inner(grad(u), grad(v)) * dx\n", │ │ │ │ │ │ "L = inner(f, v) * dx\n", │ │ │ │ │ │ "L_fem = fem.form(L, dtype=dtype)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "c94883b6", │ │ │ │ │ │ + "id": "0442bcf6", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "For the matrix-free solvers we also define a second linear form `M` as\n", │ │ │ │ │ │ "the {py:class}`action ` of the bilinear form $a$ on an\n", │ │ │ │ │ │ "arbitrary {py:class}`Function ` `ui`. This linear\n", │ │ │ │ │ │ "form is defined as\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ @@ -251,78 +251,78 @@ │ │ │ │ │ │ "M(v) = a(u_i, v) \\quad \\text{for} \\; \\ u_i \\in V.\n", │ │ │ │ │ │ "$$" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "506fbd07", │ │ │ │ │ │ + "id": "3989f169", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "ui = fem.Function(V, dtype=dtype)\n", │ │ │ │ │ │ "M = action(a, ui)\n", │ │ │ │ │ │ "M_fem = fem.form(M, dtype=dtype)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "954c91f1", │ │ │ │ │ │ + "id": "a9213eb8", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "### Matrix-free conjugate gradient solver\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "The right hand side vector $b - A x_{\\rm bc}$ is the assembly of the linear\n", │ │ │ │ │ │ "form $L$ where the essential Dirichlet boundary conditions are implemented\n", │ │ │ │ │ │ "using lifting. Since we want to avoid assembling the matrix `A`, we compute\n", │ │ │ │ │ │ "the necessary matrix-vector product using the linear form `M` explicitly." │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "f12cdff6", │ │ │ │ │ │ + "id": "e0387e87", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Apply lifting: b <- b - A * x_bc\n", │ │ │ │ │ │ "b = fem.assemble_vector(L_fem)\n", │ │ │ │ │ │ "ui.x.array[:] = 0.0\n", │ │ │ │ │ │ "bc.set(ui.x.array, alpha=-1.0)\n", │ │ │ │ │ │ "fem.assemble_vector(b.array, M_fem)\n", │ │ │ │ │ │ "b.scatter_reverse(la.InsertMode.add)" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "01499387", │ │ │ │ │ │ + "id": "14a65edb", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "# Set BC dofs to zero on right hand side\n", │ │ │ │ │ │ "bc.set(b.array, alpha=0.0)\n", │ │ │ │ │ │ "b.scatter_forward()" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - 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In particular, it illustrates how to\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "* Use mixed and non-continuous finite element spaces.\n", │ │ │ │ │ │ "* Set essential boundary conditions for subspaces and $H(\\mathrm{div})$ spaces.\n" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "markdown", │ │ │ │ │ │ - "id": "c0abbfae", │ │ │ │ │ │ + "id": "eb1c8fb1", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "source": [ │ │ │ │ │ │ "```{admonition} Download sources\n", │ │ │ │ │ │ ":class: download\n", │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "* {download}`Python script <./demo_mixed-poisson.py>`\n", │ │ │ │ │ │ "* {download}`Jupyter notebook <./demo_mixed-poisson.ipynb>`\n", │ │ │ │ │ │ @@ -99,15 +99,15 @@ │ │ │ │ │ │ "\n", │ │ │ │ │ │ "## Implementation" │ │ │ │ │ │ ] │ │ │ │ │ │ }, │ │ │ │ │ │ { │ │ │ │ │ │ "cell_type": "code", │ │ │ │ │ │ "execution_count": null, │ │ │ │ │ │ - "id": "50f8a1a6", │ │ │ │ │ │ + "id": "da5341cf", │ │ │ │ │ │ "metadata": {}, │ │ │ │ │ │ "outputs": [], │ │ │ │ │ │ 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ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ffffffff ceceffff 1010ffff 0000ffff 3c43f0ff 369938ff 008000ff 118811ff cde6cdff ffffffff 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